Luận án tiến sĩ: Dãy lặp điểm bất động - Nguyễn Trung Hiếu

Nguyên lý ánh xạ co Banach là nền tảng lý thuyết điểm bất động. Ánh xạ co thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số nhỏ hơn 1. Dãy lặp Picard hội tụ đến điểm bất động duy nhất. Phương pháp này đơn giản và dễ áp dụng. Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào hằng số co. Nguyên lý được mở rộng cho nhiều không gian khác nhau. Ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân rất phổ biến.

Ánh xạ không giãn tổng quát hóa ánh xạ co. Browder chứng minh sự tồn tại điểm bất động trong không gian Banach lồi đều. Ánh xạ không giãn tiệm cận mở rộng thêm khái niệm này. Goebel và Kirk thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại. Tuy nhiên, kỹ thuật tìm điểm bất động phức tạp hơn. Dãy lặp Mann và Ishikawa được phát triển để giải quyết vấn đề. Hội tụ mạnh đạt được trong điều kiện phù hợp.

Dãy lặp Mann là dãy một bước đơn giản nhất. Dãy lặp Ishikawa mở rộng thành dãy hai bước. Dãy lặp Noor phát triển thành dãy ba bước. Mỗi dãy có ưu điểm riêng về tốc độ hội tụ. Dãy S-lặp và SP-lặp là các biến thể hiện đại. Dãy lặp Thukur kết hợp nhiều kỹ thuật. Lựa chọn dãy lặp phụ thuộc vào bài toán cụ thể.

Ánh xạ G-không giãn kết hợp lý thuyết đồ thị với ánh xạ không giãn. Đồ thị G xác định quan hệ giữa các điểm trong không gian. Ánh xạ chỉ bảo toàn khoảng cách trên các cạnh của đồ thị. Điều kiện này yếu hơn ánh xạ không giãn thông thường. Dãy lặp hai bước xây dựng từ hai ánh xạ G-không giãn. Hội tụ mạnh đạt được với điều kiện phù hợp trên tham số. Ứng dụng trong tối ưu hóa và lý thuyết trò chơi.

Dãy lặp lai ghép kết hợp nhiều kỹ thuật lặp khác nhau. Phương pháp này tăng tốc độ hội tụ đáng kể. Ánh xạ tựa G-ϕ-không giãn tiệm cận tổng quát nhiều lớp ánh xạ. Dãy lặp hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ. Điều kiện trên tham số cần được kiểm soát cẩn thận. Không gian Banach với đồ thị cung cấp khuôn khổ linh hoạt. Kết quả áp dụng cho nhiều bài toán thực tế.

Không gian Banach trơn đều có mô đun trơn đặc biệt. Tính chất này đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy lặp. Không gian lồi chặt ngăn chặn sự phân kỳ. Kết hợp hai tính chất tạo môi trường lý tưởng. Khoảng cách Bregman sử dụng hàm lồi khả vi. Công cụ này mạnh hơn khoảng cách thông thường. Phân tích hội tụ trở nên chính xác hơn.

Bài toán cân bằng tìm điểm x thỏa mãn f(x,y) ≥ 0 với mọi y. Song hàm f mô tả quan hệ cân bằng giữa các điểm. Ứng dụng trong lý thuyết trò chơi và kinh tế học. Bài toán tối ưu là trường hợp đặc biệt của EP. Bài toán bất đẳng thức biến phân cũng là trường hợp riêng. Tập nghiệm có thể rỗng hoặc không lồi. Điều kiện trên song hàm đảm bảo sự tồn tại nghiệm.

Bài toán GMEP kết hợp EP với ánh xạ đơn điệu và hàm lồi. Tìm điểm thỏa mãn đồng thời ba điều kiện khác nhau. Ánh xạ giải thức chuyển bài toán về điểm bất động. Dãy lặp lai ghép xây dựng từ ánh xạ giải thức. Tham số điều chỉnh cân bằng giữa các điều kiện. Hội tụ đến điểm chung của hai tập nghiệm. Kỹ thuật này hiệu quả cho bài toán phức tạp.

Ánh xạ không giãn hoàn toàn Bregman sử dụng khoảng cách Bregman. Khoảng cách này định nghĩa qua hàm lồi khả vi Fréchet. Tính chất mạnh hơn ánh xạ không giãn thông thường. Không gian Banach phản xạ cần thiết cho lý thuyết. Dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm chung. Kết quả áp dụng cho tối ưu hóa lồi. Phương pháp mở rộng cho nhiều bài toán khác.

Điều kiện Summable trên tham số đảm bảo hội tụ. Tổng các tham số phải hội tụ hoặc phân kỳ đúng cách. Điều kiện Nonsummable ngăn tham số giảm quá nhanh. Khoảng cách giữa các phần tử liên tiếp phải giảm dần. Dãy có giới nội trong tập lồi đóng yếu compact. Điểm tụ yếu phải là điểm bất động. Kết hợp các điều kiện dẫn đến hội tụ mạnh.

Bổ đề Xu và Ori về dãy số không âm quan trọng. Nếu tổng có trọng số hội tụ thì dãy hội tụ về 0. Bổ đề Opial đặc trưng không gian với tính chất Opial. Bổ đề demiclosed principle cho ánh xạ không giãn. Bổ đề Kadec-Klee về hội tụ yếu và chuẩn. Các bổ đề này là công cụ chứng minh chính. Áp dụng linh hoạt cho nhiều tình huống khác nhau.

Ước lượng sai số đánh giá khoảng cách đến nghiệm. Sai số giảm theo cấp số nhân hoặc đa thức. Tốc độ hội tụ phụ thuộc vào hằng số Lipschitz. Điều kiện đầu ảnh hưởng đến hằng số trong ước lượng. Ước lượng tiên nghiệm không cần biết nghiệm. Ước lượng hậu nghiệm sử dụng thông tin từ dãy lặp. Kết quả giúp chọn số bước lặp phù hợp.

Khoảng cách Bregman D_f(x,y) = f(x) - f(y) - ⟨∇f(y), x-y⟩. Hàm f phải lồi chặt và khả vi Fréchet. Khoảng cách luôn không âm do tính lồi. Không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nói chung. Không đối xứng: D_f(x,y) ≠ D_f(y,x). Tính chất ba điểm: D_f(x,y) + D_f(y,z) = D_f(x,z) + ⟨∇f(z)-∇f(y), x-y⟩. Ứng dụng trong tối ưu hóa và học máy.

Chiếu Bregman của x lên tập C là điểm gần x nhất theo Bregman. Tồn tại và duy nhất khi C lồi đóng và f phù hợp. Đặc trưng qua bất đẳng thức biến phân Bregman. Chiếu metric là trường hợp đặc biệt khi f(x) = ||x||²/2. Tính chất đơn điệu của ánh xạ chiếu. Sử dụng trong thuật toán tách tập lồi. Hội tụ của dãy chiếu liên tiếp.

Ánh xạ T không giãn Bregman nếu D_f(Tx,Ty) ≤ D_f(x,y). Tổng quát hóa ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Điểm bất động tồn tại trong điều kiện phù hợp. Dãy lặp Mann-Bregman hội tụ đến điểm bất động. Ánh xạ không giãn hoàn toàn Bregman mạnh hơn. Ứng dụng trong bài toán khả thi tách. Kết quả mở rộng cho họ vô hạn ánh xạ.

Bài toán minimize f(x) với f lồi trên tập lồi C. Điều kiện tối ưu: 0 ∈ ∂f(x) + N_C(x). Quy về tìm điểm bất động của ánh xạ giải thức. Phương pháp gradient chiếu là dãy lặp đơn giản. Tốc độ hội tụ O(1/k) cho hàm lồi trơn. Hội tụ mạnh khi hàm lồi mạnh. Ứng dụng trong hồi quy và phân loại.

Bài toán tách minimize f(x) + g(Ax) với f, g lồi. Thuật toán Douglas-Rachford sử dụng toán tử giải thức. ADMM phân tách biến qua nhân tử Lagrange. Dãy lặp hội tụ đến nghiệm tối ưu. Tốc độ hội tụ tuyến tính trong điều kiện mạnh. Áp dụng cho bài toán quy mô lớn. Phân tán tính toán trên nhiều máy.

Tìm điểm trong giao của nhiều tập lồi. Chiếu luân phiên lên các tập lần lượt. Dãy lặp hội tụ đến điểm trong giao. Điều kiện Fejér đơn điệu đảm bảo hội tụ. Áp dụng trong tái tạo ảnh y học. Bài toán không gian con tuyến tính đơn giản hơn. Mở rộng cho tập không lồi với điều kiện yếu hơn.