Luận án phó tiến sĩ bài toán ngược trong lý thuyết thế vị - Chu Đức Khanh

Lý thuyết thế vị xuất phát từ Định luật Newton và Định luật Coulomb. Hàm thế vị mô tả năng lượng tiềm năng tại mỗi điểm không gian. Trường điều hòa thỏa mãn phương trình Laplace. Phương trình này có dạng Δu = 0 trong miền xét. Hàm thế vị có tính chất trơn và khả vi vô hạn. Nguyên lý cực trị Hopf áp dụng cho hàm điều hòa. Giá trị cực đại và cực tiểu đạt được trên biên. Công thức Green liên hệ tích phân miền và tích phân biên.

Bài toán không chỉnh vi phạm điều kiện Hadamard. Ba điều kiện Hadamard gồm: tồn tại nghiệm, duy nhất nghiệm, nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện. Bài toán ngược thường vi phạm điều kiện thứ ba. Nghiệm không ổn định với nhiễu dữ liệu. Cần phương pháp chỉnh hóa để tìm nghiệm xấp xỉ ổn định. Tham số chỉnh hóa cân bằng giữa độ chính xác và ổn định. Đánh giá sai số chỉnh hóa phụ thuộc từng bài toán cụ thể.

Vật lý Địa cầu sử dụng bài toán ngược để khảo sát cấu trúc Trái Đất. Điện từ học áp dụng tìm khuyết tật vật liệu. Phương pháp điện từ phát hiện lỗ hổng và vết nứt. Địa vật lý thăm dò khoáng sản bằng đo trường thế. Y học dùng bài toán ngược trong chụp cắt lớp. Kỹ thuật xác định nguồn từ đo đạc bề mặt. Các ứng dụng đều đối mặt với dữ liệu nhiễu.

Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace trong miền Ω. Điều kiện biên: u = f và ∂u/∂n = g trên Γ₀. Γ₀ là phần biên có dữ liệu đo đạc. Cần tìm u trên toàn bộ Ω và biên còn lại. Bài toán thuộc loại không chỉnh mạnh. Không có ước lượng ổn định kiểu Lipschitz. Nghiệm phụ thuộc logarit vào dữ liệu. Cần thông tin bổ sung để chỉnh hóa.

Miền hai chiều thường là hình chữ nhật hoặc hình tròn. Phương trình Laplace: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0. Sử dụng phương pháp tách biến để giải. Nghiệm biểu diễn qua chuỗi Fourier. Tần số cao khuếch đại nhiễu nhanh chóng. Chỉnh hóa bằng cắt tần số cao. Phương pháp hàm giải tích phức áp dụng được. Biến đổi Fourier đơn giản hóa bài toán.

Miền ba chiều phổ biến là hình cầu hoặc hình hộp. Phương trình Laplace: Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² = 0. Hàm điều hòa cầu sử dụng cho miền cầu. Phương pháp phần tử hữu hạn cho miền phức tạp. Độ phức tạp tính toán tăng đáng kể. Cần thuật toán tối ưu để giảm chi phí. Chỉnh hóa kết hợp nhiều kỹ thuật khác nhau.

Phương trình Poisson mở rộng phương trình Laplace. Dạng tổng quát: -Δu = f trong Ω. Hàm f là nguồn cần xác định. Điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên ∂Ω. Bài toán thuận: cho f tìm u, bài toán chỉnh. Bài toán ngược: cho u (hoặc dữ liệu liên quan) tìm f. Bài toán ngược không chỉnh và không duy nhất. Cần điều kiện chính quy hóa cho nguồn.

Trong vô số nghiệm, chọn nghiệm có chuẩn L² nhỏ nhất. Nghiệm này có ý nghĩa vật lý: năng lượng nguồn tối thiểu. Định lý chiếu trực giao đảm bảo tồn tại duy nhất. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất thuộc không gian ảnh của toán tử liên hợp. Phương pháp nhân tử Lagrange tìm nghiệm tối ưu. Điều kiện tối ưu là phương trình Euler-Lagrange. Nghiệm này ổn định hơn các nghiệm khác.

Bài toán moment tổng quát trên không gian Hilbert H. Cho họ phiếm hàm tuyến tính {lᵢ} và giá trị {cᵢ}. Tìm phần tử f ∈ H sao cho lᵢ(f) = cᵢ. Bài toán tìm nguồn là trường hợp đặc biệt. Phiếm hàm lᵢ là giá trị trường tại điểm đo. Định lý biểu diễn Riesz chuyển về bài toán đại số. Giải hệ phương trình tuyến tính trong không gian vô hạn chiều. Chỉnh hóa cần thiết khi ma trận Gram suy biến.

Phương pháp điện từ dựa trên định luật Ohm. Dòng điện chạy qua vật dẫn điện. Điện trở suất đặc trưng cho vật liệu. Lỗ hổng có điện trở suất khác vật liệu xung quanh. Thay đổi điện trở cục bộ ảnh hưởng phân bố điện thế. Đo điện thế bề mặt phát hiện bất thường. Vị trí bất thường chỉ ra vị trí lỗ hổng. Phương pháp an toàn và hiệu quả.

Miền Ω chứa lỗ hổng D cần xác định. Phương trình Laplace: Δu = 0 trong Ω \ D. Điều kiện biên Dirichlet u = g₀ trên ∂Ω. Điều kiện Neumann ∂u/∂n = 0 trên ∂D (lỗ hổng cách điện). Đo thêm dòng điện ∂u/∂n = h trên ∂Ω. Bài toán: tìm D từ cặp dữ liệu (g₀, h). Bài toán phi tuyến vì D chưa biết. Cần nhiều phép đo với g₀ khác nhau.

Đặt bài toán tối ưu: cực tiểu hàm mục tiêu J(D). Hàm J đo sai lệch giữa dữ liệu đo và tính toán. J(D) = ||∂u/∂n - h||² trên ∂Ω. Gradient hình dạng dJ/dD tính theo biến phân miền. Công thức Hadamard cho đạo hàm theo biên. Thuật toán gradient giảm dần tìm D tối ưu. Cập nhật biên theo hướng gradient âm. Điều kiện dừng khi J(D) đủ nhỏ.

Bài toán Cauchy: duy nhất nếu miền liên thông. Nguyên lý cực trị mạnh cho hàm điều hòa. Nếu u điều hòa và u = ∂u/∂n = 0 trên Γ thì u ≡ 0. Bài toán thác triển có nghiệm duy nhất. Bài toán tìm nguồn: không duy nhất nói chung. Duy nhất trong không gian con cụ thể. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất là duy nhất. Toán tử compact dẫn đến không duy nhất.

Bài toán xác định lỗ hổng: duy nhất địa phương. Cần giả thiết lỗ hổng đủ nhỏ hoặc xa biên. Phương pháp tuyến tính hóa quanh nghiệm chuẩn. Toán tử Fréchet đạo hàm phải khả nghịch. Điều kiện chính quy đảm bảo khả nghịch. Duy nhất toàn cục khó chứng minh. Phản ví dụ cho thấy không duy nhất trong trường hợp tổng quát.

Khi bài toán có vô số nghiệm, chọn nghiệm chính xác riêng. Nghiệm chuẩn nhỏ nhất là lựa chọn phổ biến. Nghiệm này duy nhất và có ý nghĩa vật lý. Năng lượng tối thiểu hoặc entropy cực đại. Nghiệm chính xác là mục tiêu chỉnh hóa. Phương pháp chỉnh hóa hội tụ đến nghiệm này. Tốc độ hội tụ phụ thuộc độ trơn nghiệm.

Bài toán không chỉnh Af = g với A: X → Y. Toán tử A compact hoặc không bị chặn dưới. Nghiệm không phụ thuộc liên tục vào g. Chỉnh hóa Tikhonov: cực tiểu ||Af - g||² + α||f||². Phương trình Euler-Lagrange: (AA + αI)f_α = Ag. Toán tử A*A + αI bị chặn dưới bởi α. Nghiệm f_α tồn tại duy nhất và ổn định. Ước lượng ổn định: ||f_α|| ≤ ||g||/√α.

Tham số α cân bằng sai số xấp xỉ và nhiễu. α quá lớn: nghiệm quá trơn, sai số xấp xỉ lớn. α quá nhỏ: khuếch đại nhiễu, nghiệm dao động. Nguyên tắc Morozov: ||Af_α - g^δ|| = τδ với τ ≈ 1. Phương pháp L-curve: chọn α tại điểm góc đồ thị. Phương pháp GCV (Generalized Cross Validation) tự động. Nguyên tắc sai lệch đảm bảo hội tụ khi δ → 0.

Sai số tổng: ||f_α - f^†|| với f^† nghiệm chính xác. Phân tích thành sai số xấp xỉ và sai số nhiễu. Sai số xấp xỉ: O(α^(p/2)) với điều kiện nguồn. Sai số nhiễu: O(δ/√α) từ dữ liệu nhiễu. Chọn α ~ δ^(2/(p+1)) cho tối ưu. Tốc độ hội tụ: ||f_α - f^†|| = O(δ^(p/(p+1))). Điều kiện nguồn f^† ∈ R((A*A)^(p/2)) cần thiết.